En
Mathématiques et plus précisément en Arithmétique modulaire, soit un
entier a et un entier positif
n avec pgcd(
a,
n) = 1, l'
ordre multiplicatif de
a modulo
n est le plus petit entier positif
k avec
- a k ≡ 1 (modulo n).
L'ordre de
a modulo
n est écrit généralement ord
n a, ou O
n(
a).
Par exemple, pour déterminer l'ordre multiplicatif de 4 modulo 7, nous calculons 4² = 16 ≡ 2 (modulo 7) et 4³ ≡ 4×2 = 8 ≡ 1 (modulo 7), donc ord7(4) = 3.
Cette notion est un cas particulier de l'ordre des éléments d'un groupe : si (G, *) est un groupe écrit avec la notation de la multiplication usuelle (alors a t représente le tième produit avec *), l'ordre de l'élément a de G est le plus petit entier positif k tel que a k=e (où e désigne l'élément identité de G). L'ordre multiplicatif d'un nombre a modulo n n'est rien mais l'ordre de a dans le groupe U(n), ces éléments sont les résidus modulo n des nombres relativement premiers à n, et cette opération de groupe est la multiplication modulo n. C'est le Groupe des unités de l'Anneau Z/nZ; il possède φ(n) éléments, φ étant la fonction indicatrice d'Euler.
Pour des raisons générales, comme un cas du théorème de Lagrange, ordna divise toujours φ(n). Si ordn a est égal à φ(n) et par conséquent aussi grand que possible, alors a est appelé une racine primitive modulo n. Ceci veut dire que le groupe U(n) est cyclique et que la classe des résidus de a le génère.
Tous les nombres n n'ont pas une racine primitive modulo n, mais les nombres premiers en ont toujours. Si un nombre n admet une racine primitive modulo n, alors il existe φ(φ(n)) classes de résidus différentes modulo n qui servent comme racines primitives. Ceci est un exemple d'un résultat général à propos du nombre de générateurs des groupes cycliques.
Voir aussi
- Arithmétique modulaire
- Ordre (théorie des groupes)